1 поток
2 поток

Материалы актуальны на курс, читаемый в 2020 году.
ЛЕКЦИИ
ЗАДАЧИ
ЭКЗАМЕН
ДОПОЛНИТЕЛЬНО
ПРОГРАММА КУРСА
Лекции по дифференциальной геометрии
Классическая дифференциальная геометрия
Геодезические линии на поверхности
Дифференциальная геометрия
Сборник задач по дифференциальной геометрии
Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии
Задачники:
Задачи по дифференциальной геометрии
Регулярная поверхность, эквивалентные определения. Первая квадратичная форма поверхности, примеры (для графика функции, для образа отображения двумерной области, для множества нулей функции). Вторая квадратичная форма, теорема Менье. Главные направления и главные кривизны поверхности. Гауссова кривизна, средняя кривизна и их геометрический смысл. Уравнения Вейнгартена: производные вектора нормали к поверхности. Гауссово отображения. Теорема о переносе формы площади относительно отображения Гаусса. Деривационные уравнения, уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци. Теорема Бонне о локальном задании поверхности первой и второй квадратичными формами (без доказательства). Теорема Гаусса о выражении гауссовой кривизны через первую квадратичную форму. Символы Кристоффеля, их выражение через коэффициенты первой квадратичной формы.
ГЛАВА 1.
ГЛАВА 2.
ГЛАВА 3.
Регулярные кривые. Натуральный параметр, длина кривой. Плоские кривые, кривизна, уравнения Френе для плоской кривой. Существование и единственность плоской кривой с заданной кривизной. Кривизна и кручение пространственной кривой, формулы Френе для пространственных кривых.
Ковариантное дифференцирование, его свойства. Понятие геодезической, свойства. Примеры геодезических на различных поверхностях. Лагранжиан, функционал действия, экстремали функционала действия. Уравнения Эйлера-Лагранжа. Геодезические как экстремали функционала энергии. Геодезические как экстремали функционала длины (с точностью до эквивалентности). Геодезические на поверхности вращения. Интеграл Клеро. Плоскость Лобачевского, реализованная на верхней полуплоскости, ее геодезические.
ГЛАВА 4.
Полугеодезическая система координат. Геодезические как локально кратчайшие линии на поверхности. Геодезическая кривизна. Локальная формула Гаусса-Бонне. Симплициальное разбиение поверхности, его эйлерова характеристика. Лемма об эйлеровой характеристике поверхности, гомеоморфной кругу. Формула Гаусса-Бонне для замкнутой поверхности. Понятие связной суммы поверхностей. Эйлерова характеристика поверхности рода g.
ГЛАВА 5.
Минимальные поверхности. Пространство Минковского, группа O(1,1). Преобразования Лоренца.

Краткий курс классической дифференциальной геометрии
Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей в евклидовом пространстве
Современные геометрические структуры и поля
Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии
Лекции по классической дифференциальной геометрии
МЕХАНИКО – МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ НГУ
ВОПРОСЫ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ:
studpo.mmf.nsu@gmail.com